Optimisation continue Problèmes linéaires et non linéaires Coll. Cursus
Auteur : AUDET Charles
L'optimisation est une branche récente des mathématiques qui vise à résoudre des problèmes en déterminant la solution qui soit la plus satisfaisante parmi un grand nombre de possibles. Elle est à la base de tout procédé où l'on cherche à obtenir un optimum au moindre coût ; de ce fait, elle est multidisciplinaire.
Les champs de l'optimisation étant très vastes, cet ouvrage est consacré à une famille particulière de problèmes, ceux où toutes les variables sont continues. Il comprend trois parties. La première présente deux chapitres portant sur des notions fondamentales. La deuxième partie expose cinq chapitres traitant des méthodes algorithmiques et de la théorie de l'optimisation linéaire. Enfin, la dernière partie, elle aussi en cinq chapitres, se concentre sur l'analyse et les méthodes non linéaires, avec et sans contraintes.
I - Notions fondamentales d’optimisation
1. Introduction à l’optimisation
1.1 Optimisation : d’hier à aujourd’hui
1.2 Optimalité globale et locale
1.3 Formalisme et terminologie
1.4 Application : congestion routière
1.5 Exercices
2. Modélisation
2.1 Formulation mathématique d’un problème concret
2.2 Classes et familles de problèmes d’optimisation
2.3 Existence d’une solution optimale
2.4 Application : problème de mélanges
2.5 Exercices
II - Optimisation linéaire
3. Méthode du simplexe pour l’optimisation linéaire
3.1 Formes standards d’inégalités et d’égalités en optimisation linéaire
3.2 Idées derrière la méthode du simplexe
3.3 Dictionnaire et solution réalisable
3.4 Application : conception d’un alliage optimal
3.5 Exercices
4. Forme révisée de la méthode du simplexe
4.1 Notation révisée du simplexe
4.2 Méthode du simplexe révisée
4.3 Complexité et vitesse du simplexe
4.4 Application : classification par hyperplan
4.5 Exercices
5. Considérations pratiques en optimisation linéaire
5.1 Dictionnaire initial non réalisable
5.2 Dégénérescence et cyclage
5.3 Règle anti-cyclage de Bland
5.4 Application : le plus grand disque inscrit dans un polygone
5.5 Exercices
6. Théorèmes de dualité faible et forte
6.1 Dual d’un problème linéaire
6.2 Dualité faible
6.3 Dualité forte
6.4 Application : aperçu de l’optimisation en nombres entiers
6.5 Exercices
7. Théorie de la dualité linéaire
7.1 Complémentarité
7.2 Théorème d’alternatives
7.3 Analyse de sensibilité
7.4 Application : théorie des jeux
7.5 Exercices
III - Optimisation non linéaire
8. Convexité
8.1 Ensembles, fonctions et problèmes convexes
8.2 Dérivées secondes et matrices définies positives
8.3 Critère de la deuxième dérivée
8.4 Application : régressions de Ridge et de Lasso
8.5 Exercices
9. Conditions d’optimalité pour le cas sans contraintes
9.1 Approximations de Taylor
9.2 Condition nécessaire d’optimalité de premier ordre
9.3 Conditions nécessaire et suffisante de deuxième ordre
9.4 Application : distance sécuritaire de freinage
9.5 Exercices
10. Méthodes d’optimisation non linéaire sans contraintes
10.1 Vitesse de convergence
10.2 Méthode de Newton pour l’optimisation
10.3 Direction de descente
10.4 Application : algorithme de points intérieurs
10.5 Exercices
11. Recherche linéaire
11.1 Recherche linéaire exacte
11.2 Conditions d’Armijo et de Wolfe
11.3 Convergence globale
11.4 Application : réseaux de neurones
11.5 Exercices
12. Conditions d’optimalité pour le cas contraint
12.1 Multiplicateurs de Lagrange pour contraintes d’égalité
12.2 Contraintes d’inégalité
12.3 Contraintes mixtes et conditions de KKT
12.4 Application : forme d’une chaîne suspendue
12.5 Exercices
IV - Annexe : Solutions
Index
Ce livre s'adresse principalement aux étudiants en mathématiques appliquées en cycles supérieurs, mais aussi aux étudiants en ingénierie. Il présente les intuitions à l'origine de diverses techniques d'optimisation et démontre rigoureusement tous les résultats énoncés, ce qui permet de saisir les rouages des méthodes et leur fonctionnement. De nombreux exemples, figures et exercices facilitent la compréhension.
Date de parution : 09-2021
Ouvrage de 305 p.
16x23.7 cm