Introduction à l'algèbre linéaire
Coll. Cursus

Introduction à l’algèbre linéaire a pour objectif d’aider le lecteur à comprendre et à résoudre les quatre problèmes de base de l’algèbre linéaire :

Systèmes linéaires : Ax = b n × n

Moindres carrés : Ax = b m × n

Valeurs propres : Ax = λx n × n

Valeurs singulières : Av = σu m × n

Le manuel s’attarde aux quatre sous-espaces fondamentaux d’une matrice A, illustrés en page couverture, qui donnent le théorème fondamental de l’algèbre linéaire, dont les trois parties sont la dimension des quatre sous-espaces, les meilleures bases pour ceux-ci et l’orthogonalité de chaque paire de sous-espaces. Un chapitre consacré aux applications rencontrées en sciences appliquées et en ingénierie permet de montrer l’utilité des diverses notions étudiées dans ces domaines.

Avant-propos de l’édition anglaise
Avant-propos

Chapitre 1 - Introduction aux vecteurs
. Vecteurs et combinaisons linéaires
. Longueurs et produits scalaires
. Matrices

Chapitre 2 - Résolution des équations linéaires
. Vecteurs et équations linéaires
. Concept de l’élimination
. Élimination à l’aide de matrices
. Règles des opérations matricielles
. Matrices inverses
. Élimination = Factorisation : A = LU
. Transposées et permutations

Chapitre 3 - Espaces et sous-espaces vectoriels
. Espaces de vecteurs
. Noyau de A : résoudre Ax = 0
. Rang et forme réduite en lignes
. Solution complète de Ax = b
. Indépendance, base et dimension
. Dimension des quatre sous-espaces

Chapitre 4 - Orthogonalité
. Orthogonalité des quatre sous-espaces
. Projections
. Approximations au sens des moindres carrés
. Bases orthogonales et procédé de Gram-Schmidt

Chapitre 5 - Déterminants
. Propriétés des déterminants
. Permutations et cofacteurs
. Règle de Cramer, inverses et volumes

Chapitre 6 - Valeurs et vecteurs propres
. Introduction aux valeurs propres
. Diagonalisation d’une matrice
. Applications aux équations différentielles
. Matrices symétriques
. Matrices définies positives
. Matrices semblables
. Décomposition en valeurs singulières.

Chapitre 7 - Transformations linéaires
Concept de la transformation linéaire
. Matrice d’une transformation linéaire
. Diagonalisation et pseudo-inverse

Chapitre 8 - Applications
. Matrices de l’ingénierie
. Graphes et réseaux
. Matrices de Markov, populations et économie
. Programmation linéaire
. Séries de Fourier : l’algèbre linéaire pour les fonctions
. Algèbre linéaire, statistique et probabilités
. Graphisme par ordinateur.

Chapitre 9 - Algèbre linéaire numérique
. Élimination de Gauss en pratique
. Normes et conditionnement
. Méthodes itératives et préconditionneurs

Chapitre 10 - Vecteurs et matrices complexes
. Nombres complexes
. Matrices hermitiennes et unitaires
. Transformée de Fourier rapide

Solutions d’exercices sélectionnés
Questions de révision conceptuelles
Glossaire : un dictionnaire d’algèbre linéaire
Factorisations matricielles
Codes d’enseignement MATLAB

• Gilbert Strang est professeur de mathématiques au Massachusetts Institute of Technology, où il enseigne depuis 1962. Mathématicien de renom, il a reçu plusieurs distinctions en reconnaissance de sa contribution à l'enseignement des mathématiques, et est membre de la prestigieuse National Academy of Sciences (É.-U).
• Steven Dufour est professeur de mathématiques appliquées à l’École Polytechnique de Montréal où il enseigne, depuis 2001, l’analyse numérique, les équations différentielles et les équations aux dérivées partielles, l'algèbre linéaire ainsi que la méthode des éléments finis aux cycles supérieurs.